Fraktionale Faltung

Robert Höldrich

Projektbeginn: 10/1998

Die Faltung zweier Signale im Zeitbereich ergibt eine Filterung. Diese Filterung kann im Zeitbereich (kontinuierlich oder diskret) durch Berechnung der Faltungssumme (des -integrals) durchgeführt werden. Im Frequenzbereich bedeutet das eine Multiplikation der Spektren der beiden Signale. Die Abfolge der Operationen für die Implementation einer Filterung lautet also:

Fouriertransformation der beiden Signale,

Multiplikation der beiden Spektren,

Rücktransformation in den Zeitbereich.

Die Länge des gefilterten Signals entspricht der Summe aus der Länge der beiden Signale in der Faltungssumme (normalerweise Eingangssignal x(t) und Filter-Impulsantwort h(t)).

Einen Spezialfall stellt dabei die Filterung eines Signales x(t) mit sich selbst dar. Hier ergibt sich als zweiter Schritt die Quadrierung des Spektrums: X(f)². Das Ausgangssignal stellt also das mit sich selbst gefilterte Eingangssignal dar. Es ist doppelt so lang wie das Eingangssignal.

In dieser Arbeit soll eine Verallgemeinerung der Faltung eines Signals mit sich selbst vorgestellt werden. Diese bezieht sich auf die beiden Operationen Multiplikation (hier Potenzierung) des Spektrums und Fouriertransformation.

Die Quadrierung des Spektrums X(f)² stellt einen Spezialfall der Potenzierung dar. Eine erste Verallgemeinerung führt zur verallgemeinerten Faltung (generalized autoconvolution) mit dem Faltungsparameter p:

x(t) _*^p x(t) = F^-1 [X(f)^p] mit X(f) = F[x(t)]

Für p=1 ergibt sich wiederum das Originalsignal.

In der Fouriertransformation stellen die Zeitachse und die Frequenzachse zwei ausgezeichnete Projektionsachsen der Zeit-Frequenzebene dar. Die Fouriertransformation berechnet eine Projektion der t-f-Energieverteilung (genauer gesagt der Wignerverteilung) des Signals auf die normal zur t-Achse stehende Frequenzachse.

Eine Verallgemeinerung entsteht durch Projektion auf Achsen mit beliebigem Winkel zur t-Achse. Die Fourierttransformation F stellt mit = 90° einen Spezialfall dar. Es sei F=F¹. Durch fortgesetzte Anwendung F[F] = F² entsteht: x(-t) = F² [x(t)]. F⁴ ergibt wieder die Identität. Eine Verallgemeinerung des Winkels ergibt die fraktionale Fouriertransformation a. Ordnung F^a. Als Beispiel: Eine Transformation mit a=0.5 projeziert die Wignerverteilung des Signals auf eine Achse, die einen Winkel = 45° mit der t-Achse einschließt.

Aus der Kombination von verallgemeinerten Faltung und fraktionaler Fouriertransformation ergibt sich die Fraktionale Faltung Conv^a,p,b(x) mit:

Conv ^{a, p, b}(x) = F^b[(F^a[x(t)])^p]

Als weitere Verallgemeinerung können a,p und b nicht als Konstanten, sondern zeitlich veränderlich oder vom Signal abhängig verstanden werden.

Die verallgemeinerte Faltung ist hauptsächlich als Klangsynthese- bzw. Klangmanipulationswerkzeug gedacht.